1. log₁/₂ (3x-1)= -1
ОДЗ: 3x-1>0
3x>1
x>1/3
3x-1=(1/2)⁻¹
3x-1=2
3x=2+1
3x=3
x=1> 1/3
Ответ: в) 1.
2) log₄² x + 2log₄ x=3
ОДЗ: х>0
Пусть log₄ x=y
y²+2y=3
y²+2y-3=0
D=4+12=16
y₁= -2-4 = -3
2
y₂= -2+4 =1
2
При у= -3
log₄ x= -3
x=4⁻³
x=1/64>0
При у=1
log₄ x=1
x=4¹
x=4>0
Ответ: а) 4; 1/64
3) log₇ x - log₇ (17-4x)=log₇ 4
ОДЗ: {х>0
{17-4x>0
-4x>-17
x<17/4<br> x<4.25<br> В итоге ОДЗ: х∈(0; 4.25)
log₇ (x/(17-4x))=log₇ 4
x =4
17-4x
x=4(17-4x)
x=68-16x
x+16x=68
17x=68
x=4∈(0; 4,25)
Ответ: б) 4.
4. log₃ (2x-1)+log₃ (5-x)=2
ОДЗ: 2x-1>0 5-x>0
2x>1 -x>-5
x>0.5 x<5<br>x∈(0.5; 5)
log₃ [(2x-1)(5-x)] =2
(2x-1)(5-x)=3²
10x-5-2x²+x-9=0
-2x²+11x-14=0
2x²-11x+14=0
D=121-112=9
x₁= 11-3 = 2∈(0.5; 5)
4
х₂ = 11+3 = 14/4 =3,5∈(0,5; 5)
4
Ответ: г) 2; 3,5
Неравенства:
1. log₃ (2x+8)≥log₃ (x-2)
{2x+8>0
{x-2>0
{2x+8≥x-2
2x+8>0
2x>-8
x> -4
x-2>0
x>2
2x+8≥x-2
2x-x≥ -2-8
x≥ -10
{x> -4
{x>2
{x≥ -10
x∈(2; +∞)
Ответ: в) (2; +∞)
2. log₁/₂ (2-x)≥ log₁/₂ (5-2x)
{2-x>0
{5-2x>0
{2-x≤5-2x
2-x>0
-x>-2
x<2<br>
5-2x>0
-2x>-5
x<2.5<br>
2-x≤5-2x
-x+2x≤5-2
x≤3
{x<2<br>{x<2.5<br>{x≤3
x∈(-∞; 2)
Ответ: а) (-∞; 2)
3. log₄ (2x+4)≥2
{2x+4>0
{2x+4≥4²
2x+4>0
2x>-4
x> -2
2x+4≥16
2x≥16-4
2x≥12
x≥6
x∈[6; +∞)
Ответ: б) [6; +∞)
4. ln(4x-1)≤ln(2x+5)
{4x-1>0
{2x+5>0
{4x-1≤2x+5
4x-1>0
4x>1
x>0.25
2x+5>0
2x>-5
x> -2.5
4x-1≤2x+5
4x-2x≤5+1
2x≤6
x≤3
{x>0.25
{x> -2.5
{x≤3
x∈(0.25; 3]
Ответ: г) (0,25; 3]