Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину...

Question

Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4.
Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;

3)площадь грани А1А2А3 ;

4) объем пирамиды А1А2А3A4

5)длину высоты пирамиды, проведенной
из вершины A4.



Координаты вершин




А1(2,-1,1)
А2 (5,5,4)
А3 (3,2,-1)
А4(4,1,3)

Answer 1

Даны координаты трех точек А1, А2, А3. требуется средствами векторной алгебры найти:
а) длину ВЕКТОРА А1А2
б) скалярное произведение ВЕКТОРОВ А1А2 и А1А3
в) угол между ВЕКТОРАМИ А1А2 и А1А3
г) площадь треугольника А1А2А3
д) уравнение плоскости, проходящей через точки А1,А2,А3
А1(0;2;1) А2(1;-2;1) А3(4;-1;-1)

A1 (x1,y1,z1)
A2 (x2,y2,z2)
A3 (x3,y3,z3)
а) |А1А2| = √( (x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
б) A1A2 * A1A3 = (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1)
в)
скалярное произведение векторов:
A1A2 * A1A3 = (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1)
длины векторов:
|А1А2| = √( (x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
|А1А3| = √( (x3-x1)²+(y3-y1)²+(z3-z1)²)
угол между векторами:
cos α = ( ( (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1) ) / ( √( (x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²) * √( (x3-x1)²+(y3-y1)²+(z3-z1)²) )
г) площадь треугольника
S= ½ A1A2 * A1A3 = ½((x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1))

д) решение см рисунок
(x-0)((-4)*(-2)-0*(-3))-(y-2)(1*(-2)-0*4) + (z-1)(1*(-3)-(-4)*4) = 0
8(x- 0)+ 2(y - 2)+ 13(z - 1) = 0
8x + 2y + 13z - 17=0