Используя стандартные разложения по формуле Маклорена, вычислите предел: lim

Question

Используя стандартные разложения по формуле Маклорена, вычислите предел:
lim

Answer 1

Sin(x)=x-x^3/6+O(x^5),
1-cos(x)=x^2/2+O(x^4),
ln(1-x)=-x+O(x^2) при x->0.
Поэтому предел равен
lim_{x->0}(1-x^2/6+O(x^4))^(2/x^2+O(x^4))=lim_{x->0} exp((2/x^2)*ln(1-x^2/6))=
lim_{x->0}exp((2/x^2)*(-x^2/6))=e^(-1/3).