1. a{3; -2; 1}; b{4; 5; -2}
2a{6; -4; 2}
cos (2a; b) = (6*4 - 4*5 - 2*2)/(|a|*|b|) = (24 - 20 - 4)/(|a|*|b|) = 0
2. c{2; -3; 1}; -3c{-6; 9; -3}
|-3c| = √((-6)^2 + 9^2 + (-3)^2) = √(36 + 81 + 9) = √(126) = 3√(14)
3. c{1; -2; 4}; d{0; 5; -1}
2c + d = {2+0; -4+5; 8-1} = {2; 1; 7}
d*(2c + d) = 0*2 + 5*1 + (-1)*7 = 0 + 5 - 7 = -2
4. |p| = 2; |q| = 4; ^(p; q) = 60
|3q| = 3*4 = 12
|p-q| = √(p^2 + q^2 - 2pq*cos(p; q)) = √(4+16-2*2*4*1/2) = √(20-8) = √(12)
Треугольник со сторонами 2, 4 и √(12) - прямоугольный,
потому что 2^2 + 12 = 4^2
^(q; (p-q)) = 90 - 60 = 30
^(3q; (p-q)) = 180 - 30 = 150
Скалярное произведение
3q*(p-q) = |3q|*|p-q|*cos(3q; (p-q)) = 12*√(12)*(-√(3)/2) = -6*2√(3)*√(3) = -36
5. Векторы сонаправлены, если их координаты пропорциональны.
c{2; -1; 4}; d{4; -2; 8}
4 = 2*2; -2 = 2(-1); 8 = 2*4
d = 2c. Да, они сонаправлены.
6. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.
m{2; -1; 0}; n{a; 8; 1}
m*n = 2*a + (-1)*8 + 0*1 = 2a - 8 = 0
a = 4