Здесь на самом деле допустимы два случая - с запятыми, и с тире:
1) Его мать, Авдотья Васильевна, дочь бедного дворянина.
2) Его мать - Авдотья Васильевна - дочь бедного дворянина.
А вообще, мне кажется, что если в предложении говорится лишь о дочери, то есть дальше после этой фразы ничего не будет, то вполне уместным будет тире.
А если, допустим, предложение такое: "Его мать, Авдотья Васильевна, дочь бедного дворянина, была замечательной хозяйкой.", то подойдут запятые.