Вписанный угол, опирающийся на хорду - это любой угол, вершина которого лежит на окружности, а лучи сторон проходят через концы хорды.
Конкретное положение вершины не интересно, ибо все углы, опирающиеся на одну и туже дугу окружности (а это равносильно тому, что они все опираются на хорду, стягивающую эту дугу) имеют одну и туже градусную меру, равную половине градусной меры этой дуги.
Дано:
Окружность O(R).
Хорда AB.
Угол ACB - вписанный (C∈O(R)), ∡ACB=α.
Решение:
1. Пусть α=90°.
Тогда прямой угол вписан в окружность и значит, опирается на диаметр этой окружности. Т.е., длина хорды AB равна длине диаметра 2R.
2. Пусть α≤90.
Тогда точки O и C лежат по одну сторону относительно хорды AB.
Соединим O с точками A и B и проведем отрезок OC₁ так, чтобы OC₁⊥AB и точка C₁ лежала на окружности. Отрезок OC₁ пересечет хорду AB в точке D.
Тогда OA=OB=OC₁=R, ∠ADO=∠ADC₁=∠BDO=∠BDC₁=90°.
AD=DB=1/2AB.
Заметим, что точки C и C₁, при этом, лежат по разные стороны от хорды AB. Окружность разбивается точками A и B на две дуги: ACB и AC₁B, составляющими вместе полную окружность.
Угол ACB - вписанный, опирающийся на хорду AB. Значит, по условию, его градусная мера равна α. Значит, градусная мера дуги AC₁B, на которую опирается угол ACB, равна 2α.
Известно, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую опирается этот угол.
Значит, градусная мера центрального угла AOB, опирающегося на дугу AC₁B, равна 2α.
Треугольник ADO - равнобедренный прямоугольный с гипотенузой AO=R и углом AOD, равным 1/2∡AOB = α (высота к основанию равнобедренного треугольника является также биссектрисой и медианой).
Значит, синус этого угла есть отношение противолежащего катета (AD) к гипотенузе (AO). Значит, AD равно AO* синус ∠AOD.
AO=R, ∡AOD=α ⇒ AD=Rsinα.
Длина хорды AB равна удвоенной длине AD, т.е. AB=2Rsinα.
Вспоминая, что sin90°=1, определяем, что решение для прямого угла ACB (см п.1) также может быть записано в найденном виде: 2R=2R*1=2Rsin90°=2Rsinα.
3. Пусть α>90°
Тогда точки O и C лежат по разные стороны хорды AB.
Точки A и B разделяют окружность на 2 дуги: дугу ACB, на которую опирается центральный угол AOB, и дугу AB, на которую опирается угол ACB.
При этом эти 2 дуги дополняют друг друга до полной окружности, т.е. до градусной меры в 360°.
Градусная мера дуги AB равна 2α.
Градусная мера дуги ACB равна 360°-2α.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, т.е. ∡AOB=360°-2α=β
Но треугольник AOB полностью совпадает с треугольником AOB из п.2. Он равнобедренный и в нем известны угол при вершине β и длины боковых сторон R.
Значит, длина основания также вычисляется по формуле: AB=2Rsin(β/2).
β/2=(360°-2α)/2=180°-α
sin(β/2)=sin(180°-α)=sinα
Значит, AB=2Rsinα
Ответ: длина хорды равна 2Rsinα