Решение
y = (e^(4*x))*(2-3*x)
1. Находим интервалы возрастания и убывания.
Первая производная.
f'(x) = 4 * (-3x+2) * e^(4x) - 3 * e^(4x)
или
f'(x) = (-12x+5) * e^(4x)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(-12x+5) * e^(4x) = 0
Откуда:
- 12x + 5 = 0
- 12x = - 5
x₁ = 5/12
(-∞ ;5/12) f'(x) > 0 функция возрастает
(5/12; +∞) f'(x) < 0 функция убывает
В окрестности точки x = 5/12 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 5/12 - точка максимума.
2) Hаходим первую производную функции:
f'(x) = 4*(-3x+2) * e^(4x) - 3 * e^(4x)
или
f'(x) = (-12x+5) * e^(4x)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(-12x+5) * e^(4x) = 0
- 12x + 5 = 0
- 12x = - 5
Откуда:
x₁ = 5/12
Вычисляем значения функции
f(5/12) = (3*(e⁵/³))/4
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 16*(- 3x + 2) * e^(4x) - 24 * e^(4x)
или
y'' = (- 48x + 8) * e^(4x)
Вычисляем:
y``(5/12) = ((- 48 *(5/12) + 8) * e^(4*(5/12)) = - 12 * e⁵/³ = < 0
Следовательно, в этой точке функция имеет максимум:
y(5/12) = e^(4*(5/12)) * (2-3*(5/12)) = e⁵/³ * (2 - 5/4) = (3*(e⁵/³))/4
ymax (5/12) = (3*(e⁵/³))/4