Задачи 1 и 2 решены Пользователем Ayl0901Ayl
Ученый
1.
Плоскости α и β пересекаются по прямой l.
а) да, могут. Любая
прямая a, проведенная в плоскости α и параллельная прямой l (она
существует, т.к. прямая l лежит в плоскости α) будет параллельна любой
прямой b, проведенной в плоскости β и параллельной прямой l (она
существует, т.к. прямая l лежит в плоскости β).
б). да, могут.
Возьмем прямую a, лежащую в плоскости α и не параллельную прямой l. Она
пересекает прямую l в точке A (обе прямые лежат в одной плоскости α и не
параллельны ⇒ имеют ровно одну точку пересечения).
Возьмем на прямой
l отличную от A точку B. Точка B лежит в плоскости β, т.к. в этой
плоскости лежит вся прямая l. Проведем через точку B в плоскости β любую
прямую b, не совпадающую с l.
Прямые a и b - скрещивающиеся, т.к.
они не пересекаются (точки A и B различны, а вне прямой l прямые из
плоскостей α и β пересекаться не могут) и не являются параллельными
(т.к. плоскости α и β не параллельны, а прямые a и b не параллельны
прямой l по построению).
2. A₁B₁=9 см.
Решение.
Прямые l и m пересекаются в точке O по условию. Значит, они определяют плоскость γ, в которой обе и расположены.
Плоскость γ
пересекает плоскость α по прямой s. Точка A₁, принадлежащая прямой l,
также принадлежат и плоскости γ. Но она же принадлежит и плоскости α,
т.к. является точкой пересечения прямой l и плоскости α. Значит, точка
A₁ принадлежит обеим плоскостям, а значит, и прямой s. Аналогично, точка
B₁ принадлежит прямой s. Значит, весь отрезок A₁B₁ принадлежит прямой
s, т.е. полностью лежит в плоскости γ.
Аналогично, отрезок A₂B₂ полностью принадлежит плоскости γ и прямой t - прямой, являющейся пересечением плоскостей β и γ.
Более
того, т.к. плоскости α и β параллельны, то секущая их плоскость γ
формирует 2 параллельные прямые пересечения s и t. Значит, отрезки A₁B₁ и
A₂B₂ параллельны.
Все 5 точек лежат в плоскости γ и в дальнейшем можно перейти к решению в одной плоскости, т.е. к планиметрической задаче.
Задача:
В
треугольнике A₂OB₂ через точки A₁ и B₁ на сторонах OA₂ и OB₂
соответственно, проведен отрезок A₁B₁, параллельный основанию
треугольника A₂B₂. Определить его длину, если заданы соотношения (см.
исходные условия).
Решение:
Треугольники A₂OB₂ и A₁OB₁ являются подобными.
Значит, коэффициент подобия будет равен отношению длин сторон OB₁ и OB₂. Это соотношение задано: 3:5.
Значит, все остальные стороны соотносятся также. Т.е. A₁B₁:A₂B₂=3:5.
Отсюда A₁B₁=3/5A₂B₂.
A₂B₂=15 ⇒ A₁B₁=3/5*15=9 (см).
3. Точки M и N лежат в одной плоскости DBC. Соединяем их, MN - отрезок сечения.
Точки М и К лежат в одной плоскости ACD. Соединяем их, МК - отрезок сечения.
Найдем точку пересечения прямой КМ с плоскостью АВС. КМ лежит в плоскости ACD, Плоскость ACD пересекается с плоскостью АВС по прямой АС. Значит, точка пересечения КМ и АВС лежит на прямой АС. Это точка О.
Прямая ОN пересекает ребро АВ в точке L.
KMNL - искомое сечение.