Ребро правильного тетраэдра равно a. Найдите площадь его сечения, проходящей через ребро...

Чтобы не писать лишнего, перечислю теоремы и свойства, потребные для решения данной задачи:
- В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана, высота, проведённые из одной вершины, совпадают между собой.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
- Теорема Пифагора.
Дальше всё по рисунку:

$EC= \sqrt{a^2-( \frac{a}{2})^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}= \sqrt{ \frac{4a^2-a^2}{4}}=\sqrt{ \frac{3a^2}{4}}= \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$CO= \frac{2}{3}EC= \frac{2}{3}\cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}= \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$DO= \sqrt{a^2-CO^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a \sqrt{3}}{3})^2}=\\\\=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{9}}= \sqrt{\frac{9a^2-3a^2}{9}}= \sqrt{ \frac{6a^2}{9}}= \frac{a \sqrt{6}}{3}$

$S= \frac{1}{2}EC\cdot DO=\frac{1}{2}\cdot\frac{a \sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a \sqrt{6}}{3}= \frac{a^2 \sqrt{18}}{12}= \frac{3a^2 \sqrt{2}}{12}=\frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$