Даны вершины треугольника A (2;-1;0), B (-2;1;1), C (2;2;-1). Вычислить его высоту,...

Находим стороны треугольника:
$AB= \sqrt{(-2-2)^2+(1+1)^2+(1-0)^2}= \sqrt{21}$
$AC= \sqrt{(2-2)^2+(2+1)^2+(-1-0)^2}= \sqrt{10}$
$BC= \sqrt{(-2-2)^2+(1-2)^2+(1+1)^2}= \sqrt{21}$
Тогда по формуле Герона площадь треугольника будет равна
$S= \sqrt{\left(\sqrt{21}+ \frac{ \sqrt{10}}{2}\right)\left(\frac{ \sqrt{10}}{2}\right)^2\left(\sqrt{21}- \frac{ \sqrt{10}}{2}\right) }= \frac{ \sqrt{10}}{2}\frac{ \sqrt{21-\frac{10}{4}}}{2}=$
$=\frac{ \sqrt{10}}{2}\frac{ \sqrt{74}}{2}=\frac{ \sqrt{185}}{2}$
Высота, проведенная с вершины В равна:
$h_B= \frac{2S}{AC} = \frac{ \sqrt{185}}{ \sqrt{10} } = \frac{\sqrt{74}}{2}$

По теореме косинусов:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdotBC\cdot\cos B$
а поскольку AB=BC, то
$AC^2=2AB^2(1-\cos B)$ и $\cos B = 1-\frac{AC^2}{2AB^2}=$
$=1-\frac{10}{42}=\frac{32}{42}=\frac{16}{21}$