Найти точку М1, симметричную точке М относительно плоскости Р. М (1; 0; -1) Р: 2у+4z-1=0

Question

Найти точку М1, симметричную точке М относительно плоскости Р.
М (1; 0; -1) Р: 2у+4z-1=0

Answer 1

Помогу лисене, так и быть) 
Q(x;y)- искомая точка 
направляющий вектор исходной прямой а(2;-3) тогда нормальный n(3;2) p.s их скалярное произведение равно 0 
строишь прямую, перпендикулярную исходной, она задается вектором n(3;2)- он для нее направляющий и точкой P(-5;13) 
тогда уравнение прямой, перпенд, исходной, будет иметь вид 3x+2y+c=0 подставляешь координаты точки P(-5;13) тогда -15+26+с=0 и с=-11 
уравнение полученной прямой 3x+2y-11=0 
находишь точку пересечения заданных прямых, решаешь систему 
3x+2y-11=0, 
2х-3у-3=0 
первое уравнение системы умножаешь на 2, а второе- на 3 и вычитаешь из первое, второе, находишь y=1 и x=3 
находишь точку O(3;1) 
поскольку точка Q(x;y ) симметрична P, то O- середина отреза PQ и 3=(-5+x)/2 
1=(13+y)/2 и x=11 y=-11 
Q(11;-11)

Comments

Не устали, столько писать?

Answer 2

Уравнение плоскости задано общим уравнением 
Ax+By+Cz+D=0, тогда вектор нормали к плоскости 
n{A;B;C}  уравнение плоскости  2y+4z-1=0 -> n{0;2;4}
Расстояние от точки E(x1;y1;z1)  до плоскости 
Ax+By+Cz+D=0   задается равенством
d=( | A*x1+B*y1+C*z1+D | )/(√(A^2+B^2+C^2))
расстояние от точки M(1;0;-1) до плоскости
d=(| -4-1|)/(√(4+16)) = 5/√20 = √20/4
Пусть N(x;y;z) - проекция точки M(1;0;-1) на плоскость,
тогда вектор MN коллинеарен вектору n{A;B;C}  -> 
MN =α*n  -> {x-1;y;z+1} = α{0;2;4}  -> y = 2α,  z+1=4α
-> 2y=z+1 -> 2y-z-1=0  -  первое уравнение, точка 
N(x;y;z) принадлежит плоскости, -> 2y+4z-1=0  - 
второе уравнение ,  из этих двух уравнений 5z=0 ->
z=0,  подставляем в первое уравнение -> y=1/2
Расстояние от  точки M до плоскости равно d =√20/4
->  (x-1)^2+y^2+(z+1)^2 =20/16 = 5/4  ->
(x-1)^2 +1/4 + 1 = 5/4  ->  (x-1)^2 = 0  -> x=1
Итак, координаты точки N(1;1/2;0),   MN{0;1/2;1}
Векторное равенство  MM1 = 2MN  ->  
{x-1;y;z+1} ={0;1;2}  ->  x=1,  y=1, z=1
M1(1;1;1),   расстояние от точки M1(1;1;1)  d =5/√20 =√20/4   ->  точка M1 симметрична точке M(1;0;-1)