Докажите тождество: Заранее спасибо!

Решите задачу:

$\frac{2cos^2 \alpha \cdot tg \alpha }{tg2 \alpha } =\frac{2cos^2 \alpha \cdot \frac{sin \alpha }{cos \alpha }}{\frac{sin2 \alpha }{cos2 \alpha }} = \frac{2cos \alpha \cdot sin \alpha \cdot cos2 \alpha }{sin2 \alpha } = \frac{sin2 \alpha \cdot cos2 \alpha }{sin2 \alpha } =\\\\=cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha$