Для решения
уравнения третьей степени можно принять такой способ:
1).
Сначала
путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические
уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень,
причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является
делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно
подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких
как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому будем искать корень среди этих чисел
и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность
успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот
корень x1 .
2).
Вторая
стадия решения – это деление многочлена ax 3+ bx 2+ cx+ d на двучлен x – x1. Согласно теореме Безу ( «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление без остатка
возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо
приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или
нет!) оставшиеся два корня.
Уравнение: x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 .
Р е ш е н
и е . Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3
и подстановкой в уравнение.
х 0 1 -1
2 -2
3
-3 4
у
-18
-16 -24
-12
-40 0 -72 26
В результате находим,
что 3 является корнем. Тогда делим левую часть этого
уравнения на двучлен x – 3,
x³ – 2x² + 3x - 18 | x - 3
x³ - 3x² x² + x + 6
x² + 3x - 18
x² - 3x
6x - 18
6x - 18
0
и получаем:
x² + x + 6
Теперь, решая квадратное уравнение: x² + x + 6 = 0,
ищем другие корни:
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*6=1-4*6=1-24=-23;
Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Ответ: уравнение x³ – 2x² + 3x - 18 = 0 имеет один корень х = 3.