Упростите тригонометрические выражения

Решите задачу:

$\sin \alpha - \cos \alpha \cdot tg \ \alpha= \sin \alpha -\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \sin \alpha - \sin \alpha=0$

$\sin \alpha \cdot ctg \ \alpha - 2\cos \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}- 2\cos \alpha=\cos \alpha - 2\cos \alpha = -\cos \alpha$

$\frac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= \frac{ \frac{1-\cos2 \alpha}{2} }{1- \frac{1-\cos 2 \alpha}{2}}= \frac{ \frac{1-\cos2 \alpha}{2} }{ \frac{1+\cos 2\alpha}{2} }= \frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2\alpha}= \frac{2\sin^2 \alpha}{2\cos^2\alpha} =tg^2 \alpha$

$\frac{1}{1+tg^2\alpha}+\sin^2 \alpha= \frac{ 1 }{ \frac{1}{\cos^2 \alpha} }+\sin^2 \alpha=\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha=1$

$\frac{1}{1+ctg^2\alpha}+\sin^2 \alpha=\frac{ 1 }{ \frac{1}{\sin^2 \alpha} }+\sin^2 \alpha=\sin^2 \alpha+\sin^2 \alpha=2\sin^2 \alpha=\\\\ =2 \cdot \frac{1-\cos 2\alpha}{2}=1-\cos2 \alpha$

$(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)=1-\cos^2 \alpha=1- \frac{1+\cos2 \alpha}{2}= \frac{1-\cos 2 \alpha}{2}=\sin^2 \alpha$