Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD. Точка Р -...

Ну, так, вкраце:
Сечением параллелепипеда будет равнобедренная трапеция $A_1C_1PO$ , а не треугольник $A_1C_1P$ , как это ошибочно может показаться с первого взгляда.

$A_1C_1= \sqrt{4^2+4^2}=4 \sqrt{2}\\ \\C_1P=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2 \sqrt{10}$

$A_1O=C_1P=2 \sqrt{10}\\ \\OP= \sqrt{2^2+2^2}=2 \sqrt{2}$

$P_{A_1C_1PO}=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2\sqrt{10}+2 \sqrt{10}=6\sqrt{2}+4 \sqrt{10}=\\ \\=2(3\sqrt{2}+2 \sqrt{10})$

...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)