БОЛЕЕ 30-ти БАЛЛОВ!!!! Докажите, что функция возрастает 1) y=x^3+1 2) y=x^2/2 И убывает ...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Так, так, так. У линейной функции возрастание/убывание зависит от углового коэффицента k $y=kx+m$ : если k>0, функция возрастает, k<0 - убывает. Всё просто. Т.е. в убывании обе функции линейные, k<0 и в первом (k=-7), и во втором <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D4-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%3B+k%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D++" id="TexFormula2" title="y=4- \frac{1}{3}x; k=- \frac{1}{3} " alt="y=4- \frac{1}{3}x; k=- \frac{1}{3} " align="absmiddle" class="latex-formula">. С этим разобрались. Теперь к возрастанию. Я не знаю, в каком Вы классе, постараюсь объяснить доступно. Чтобы определить возрастание/убывание функции, нужно взять значения $x_1; x_2$ , два произвольных числа, но $x_1\ \textless \ x_2$ . Пусть мы имеем функцию $y=f(x)$ , тогда вычисляем значения функции в этих двух точках, имеем $f(x_1)$ и $f(x_2)$ , так вот, если $x_1\ \textless \ x_2; f(x_1)\ \textless \ f(x_2);$ , тогда функция возрастающая, если же $x_1\ \textless \ x_2; f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)$ , то она убывающая, но только ПРИ УСЛОВИИ, что она монотонна на всей области определения (т.е. ТОЛЬКО возрастает или ТОЛЬКО убывает), в противном случае мы говорим о ПРОМЕЖУТКАХ возрастания и убывания. 1) $y=x^3+1; x_1=-2; f(x_1)=(-2)^3+1=-7; x_2=4;x_1\ \textless \ x_2 \\ f(x_2)=4^3+1=65; f(x_1)\ \textless \ f(x_2)$ , т.е. функция возрастающая. А вот задание с $y= \frac{x^2}{2}$ не совсем корректно, так как эта функция возрастает только при x>0, при x<0 она убывает, x=0 - Точка экстремума. Если уж брать математический анализ, то легко взять производную и исследовать функцию на "скорость изменения" (алгебраический смысл производной) <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%3B+y%27%3D+%5Cfrac%7B2x%7D%7B2%7D%3Dx%3B++" id="TexFormula12" title="y= \frac{x^2}{2}; y'= \frac{2x}{2}=x; " alt="y= \frac{x^2}{2}; y'= \frac{2x}{2}=x; " align="absmiddle" class="latex-formula">. Если производная в некоторой точке отрицательная, то функция убывает, если производная положительная, то функция возрастает, если производная равна 0, то это точка экстремума. Очевидно, что при x<0 функция убывает, при x>0 возрастает. Если же доказывать возрастание на промежутке x>0, тогда действуем, как и в первом случае (только не берем значения из ненужного нам промежутка): $x_1=1; x_2=2; x_1\ \textless \ x_2; f(x_1)= \frac{1}{2};f(x_2)=2; f(x_1)\ \textless \ f(x_2)$ , функция возрастает, что и требовалось доказать.

ArtemCoolAc_zn (5.0k баллов) 12 Апр, 18