1) Найти наибольший общий делитель двух чисел: 26862, 132
Решение: представим эти два числа в виде произведения простых сомножетилей:
143 = 11*13
26862 по признаку делимости на 11, делится на 11.
26862 = 11*2442
2442 по признаку делимость на 11, делится на 11
26862 = 11*2442 = 11*11*222 = 11*11*2*111 = 11*11*2*3*37
Получив эти два разложения на простые множители с легкостью находим наибольших общий делитель 11.
(26862, 132) = 11
2) Ребята кушали сладкое печенье и пили чай. После того, как чаепитие было окончено, в коробочке с печеньем осталось семь печенек, что составялет треть от количества печенья, которое было до чаепития. Сколько печенья скушали ребята? Сколько было ребят, если известно, что каждый скушал равное количество печенья (печенье не ломали на кусочки) и число ребят не кратно семи?
Решение: Итак. Всего было 7*3 печенья до чаепития. А после осталось 7 штук. Значит ребята съели 7*3-7=14 печенек.
У 14 имеется четыре делителя (способы, которыми можно разделить 14 печений поровну): 1, 2, 7, 14. Кратных семи - два 7, 14. Так как в задаче речь о ребятах, то 1 не подходит, остаётся 2.
3) Вася купил в магазине три булочки, при этом вторая булочка стоила на два рубля меньше первой, а третья, в четыре раза больше второй. Сколько стоила первая булочка, если известно, что за всю покупку Вася заплатил 44 рубля?
Решение: x - цена первой булочки, x-2 - цена второй булочки, 4(x-2) - цена третьей булочки.
x + x - 2 + 4(x-2) = 44
2x -2 + 4x - 8 = 44
6x = 54
x = 9
4) Виктор задумал трехзначное число. Какое он задумал число, если известно, что двузначное число, полученное из задуманного числа вычитанием 200, кратно 13 и 7?
Решение: abc
abc - 200 = de
abc = de + 200
13*7 = 91. Если бы число de имело делители помимо 7 и 13 , 1 и 7*13, то оно было бы трехзначным. Это получается из-за того, что числа 7 и 13 взаимопросты и просты.
Действительно, если взять простой делитель отличный от 7 и 13, то он будет входить в разложение числа на простые сомножетели. Минимальный такой делитель 2, и получается, что как минимум de = 7*13*2*c >= 182
Любой составной делитель f данного числа, будет иметь хотя бы один отличный от 7 и 13 простой делитель (иначе этот делитель будет совпадать с 7*13, или будет трехзначным, что невозможно), а для простых делителей отличных от 7 и 13 было уже показано, что число de не будет двузначным.
Тогда остаётся только одно, de = 7*13 = 91
abc = 91 + 200 = 291