Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см кв., гипотенуза равна 37 см. Найдите...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть первый катет равен $a$ см, тогда второй катет - $b$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна $\dfrac{a\cdot b}{2}$ , что составляет 210 см² или перепишем сразу $a\cdot b=420$

По теореме Пифагора:   $a^2+b^2=37^2$

Составим и решим систему уравнений    $\displaystyle \left \{ {{a\cdot b=420} \atop {a^2+b^2=37^2}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{a\cdot b=420} \atop {a^2+b^2-2a\cdot b+2a\cdot b=1369}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{a\cdot b=420} \atop {(a-b)^2+2\cdot420=1369}} \right. ~~\\ \\ \\ \Rightarrow \left \{ {{a\cdot b=420} \atop {(a-b)^2=529}} \right.$

Из второго уравнения имеем, что $\displaystyle a-b=\pm23$ . Тогда имеем несколько случаев.

Случай 1. Если $a-b=23$ , то $a=23+b$ и подставим в первое уравнение.
$(23+b)b=420\\ \\ b^2+23b-420=0$

Согласно теореме виета $b_1=-35;~~ b_2=12$ см и корень $b_1$ не удовлетворяет заданному условию
$a_2=23+12=23+7=35$ см

Случай 2. Если $a=b-23$ ,то подставив в первое уравнение, получим

$(b-23)b=420\\ b^2-23b-420=0$
Согласно теореме Виета $b_3=-12$ $b_4=35$ см и корень $b_3$ не удовлетворяет условию
$a_4=b_4-23=35-23=12$

Катеты прямоугольного треугольника равны 35 см и 12 см или 12 см и 35 см.

Периметр прямоугольного треугольника:   $P=35+12+37=84$ см

Ответ: 84 см.

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 13 Апр, 18