Фишка в том, что слова однокоренные, а частеречное значение у них разное, т.е. они разные части речи.
Первый пункт разберу, а дальше - по аналогии:
бегал - (действие) глагол
бегство-(опредмеченное действие) -существительное
бег - существительное
бегун - существительное (обозначает лицо)
беглый - прилагательное (если это признак, например:беглый гласный. Или существительное, если лицо,в значении человека, который находится в бегах(из тюрьмы удрал)
Общий корень, естесственно -БЕГ