Доказать что если a+b+y =p то справедливо равенство sin a + sin B + sin y = 4 cos a/2 cos...

Question

Доказать что если a+b+y =p то справедливо равенство

sin a + sin B + sin y = 4 cos a/2 cos b/2 cos y/2

Буду благодарен за решение!

Answer 1

α+β+γ=π  ⇒ γ=π-(α+β)  и  α+β=π-γ 

(sinα+sinβ)+sinγ=2sin(α+β)/2 * cos(α-β)/2 + 2 sinγ/2 cosγ/2=  

         [  (α+β)/2=π/2-γ/2  ⇒ sin(α+β)/2= sin( π/2-γ/2)=cosγ/2  ]

=2 cosγ/2 * cos(α-β)/2 + 2 sinγ/2 cosγ/2=

=2 cosγ/2 * ( cos(α-β)/2+sinγ/2 )=

          [  sinγ/2=sin( π/2-(α+β)/2 )=cos(α+β)/2  ]

=2 cosγ/2 * (cos(α-β)/2 +cos(α+β)/2 )= 

           [   (α+β)/2 + (α-β)/2=2α/4=α/2  ;    (α+β)/2 - (α-β)/2= 2β/4=β/2  ]

=2 cosγ/2 *2 cosα/2 *cosβ/2 = 4 cosα/2 cosβ/2 cosγ/2