Докажите неравентво (а+1)(а+1)(а+1)(а+1)>=16abc (если а>0,b>0,c>0

0 голосов
45 просмотров

Докажите неравентво (а+1)(а+1)(а+1)(а+1)>=16abc (если а>0,b>0,c>0


Математика (12 баллов) | 45 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Ну, вообще, чисто теоретически, данное неравенство имеет место быть, но только при том условии, что b и c <= a;<br>Преобразуем немного левую часть :
(a+1)(a+1)(a+1)(a+1) \geq 16abc
(a^2+2a+1)(a^2+2a+1) \geq 16abc
a^4+4a^3+6a^2+4a+1 \geq 16abc

Теперь, можно попробовать подставить a=1
У нас получается 16≥16bc . При а=1: b=1; c=1 ; (Удовлетворяет b,c≤a)
При а=2 наша ситуация выглядит так :
81≥32bc. Тут уже ситуаций будет немного побольше, а именно:
\left \{ {{b=2,c=1 } \atop {b=1,c=2 }} \right.
Ну и так далее... В общем,
(а+1)(а+1)(а+1)(а+1)≥16abc ⇔ ∃ a,b,c>0 :  (a≥b,c) .
Надеюсь, доказал верно :D

(996 баллов)