какие факторы помогли западным землям руси избегать нашествия батыя?

Никакие. Нашествие были и было их много. Просто Батый не до всех земель дошёл(Новгород и Псков, например). русские князья платили дань.

Русские земли освободились от монголо-татарского ига, после стаяния на Угре.