Может, так..
сторона правильного вписанного треугольника а= (корень из 3) * R
образующую найти по т.Пифагора: корень из (SO^2+ R^2), где О- центр основания.
Зная длину образующей и соотношение SM/MB=2 и CN/NS=2, найти МВ и CN: MB= SC/3 , CN= 2SC/3.
В треугольниках SAC и BSA мы знаем все стороны. По т.косинусов найти cos B и cos C
Использовать их в т.косинусов для треугольников BMA и ANC и найти MA и AN.
по т.косинусов найти косинус S в треугольнике BSC и использовать в труегольнике MSN, найти MN
косинус AMN найти также по т.косинусов