Радиус окружности,вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды ,равен 4...

Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.

Радиус, вписанной в квадрат окружности, равен 1/2 стороны квадрата.

Найдём сторону квадрата:
$2*4 \sqrt{5} =8 \sqrt{5} \\$

Высота пирамиды, её ребро и половина диагонали основания пирамиды образуют прямоугольный треугольник.

Найдём 1/2 диагонали основания пирамиды.
Воспользуемся формулой: d = √2 · a, где a - сторона основания.
$\frac{d}{2}= \frac{ \sqrt{2}*a}{2} = \frac{ \sqrt{2}*8 \sqrt{5} }{2} = \frac{8 \sqrt{10} }{2} =4 \sqrt{10} \\$

Найдём высоту пирамиды по т. Пифагора:
$h= \sqrt{14 ^{2}- (4 \sqrt{10} ) ^{2} } = \sqrt{196-160} = \sqrt{36} =6 \\.$
Ответ: h = 6.