осевое сечение цилиндра - прямоугольник
его диагональ равна d, она делит прямоугольник на 2 равных треугольника
рассмотрим АВС
Пусть АВ=d, тогда АВ гипотенуза прямоугольного треугольника АВС
АС - катет, равный диаметру основания цилиндра
тогда радиус основания цилиндра равен R=АС/2
BC - катет, который является высотой цилиндра Н
объем цилиндра равен V=пR^2*H
АС=cos a * d
R=АС/2= (cos a * d)/2
H=sin a * d
подставляем в формулу, упрощаем, вроде так
При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R
R=h, h - высота треугольника, опущенная из вершины С (С=90 град)
b=sin a * c = sin a * a/cos a = a*tg a
c = a/cos a
площадь треугольника S=(a*b)/2=(a*a*tg a)/2=(a^2*tg a)/2
высота треугольника h=2S/c= (a^2*tg a)/c (это R)
Объём конуса:
V=1/3 πR^2*h
гипотенуза с образует сумму высот 2х конусов, то есть с=h1+h2
объем фигуры вращения есть сумма объемов 2х конусов V=V1+V2=1/3 πR^2*h1 + 1/3 πR^2*h2= 1/3 πR^2*(h1+h2)= 1/3 πR^2*c= 1/3 π*((a^2*tg a)/c)^2*c
упрощаем и все вроде