1) Чтобы на прямой 2х-у-5=0 найти такую точку М, сумма расстояний от которой до точек А(-7;1) и В(-5;0) была бы наименьшей надо найти точку А₁, симметричную точке А относительно прямой 2х-у-5=0.
Затем провести прямую ВА₁ и точка пересечения этой прямой и прямой 2х-у-5=0 будет точкой М.
Находим прямую (пусть это АК), проходящую через точку А (х=-7;у=1) и перпендикулярную прямой 2х-у-5=0 (А=2;В=-1;С=-5)
АК⇒А(у-у₁)-В(х-х₁)=0
АК⇒2(у-1)+1(х+7)=0
АК⇒х + 2у + 5 = 0.
Находим точку пересечения АК и заданной прямой 2х - у - 5 = 0:
х + 2у + 5 = 0 х + 2у + 5 = 0
2х - у - 5 = 0 4х - 2у - 10 = 0
---------------------
5х -5 = 0
Хк = 5/5 = 1
Ук = 2х - 5 = 2*1 - 5 = -3.
Находим симметричную точку А₁:
Ха₁ = 2Хк -Ха = 2*1 - (-7) = 2 + 7 = 9.
Уа₁ = 2Ук - Уа = 2*(-3) - 1 = -6 - 1 = -7.
Уравнение прямой ВА₁:
- это каноническое уравнение.
Это уравнение в общем виде :-7х - 35 = 14у
-7х - 14у -35 = 0 или сократим на -7:
х + 2у + 5 = 0
Точка М находится решением системы уравнений, выражающих прямые 2х - у - 5 = 0 и ВА₁:
{2х - у - 5 = 0 4x - 2y - 10 = 0
{х + 2у + 5 = 0 х + 2 у + 5 = 0
--------------------
5x - 5 = 0
XM = 5 / 5 = 1,
YM = 2x - 5 = 2*1 - 5 = -3.
Ответ: координаты точки М(1; -3).