Построить график функции y = 2∛(x²) * e^(x/3) по следующему алгоритму: 1) Область...

0 голосов
39 просмотров

Построить график функции y = 2∛(x²) * e^(x/3) по следующему алгоритму:
1) Область определения функции
2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x-> +- ∞)
3) Пересечение с осями координат и точки разрыва (найти точки разрыва с помощью пределов)
4) Асимптоты (вертикальные и наклонные, найти их через пределы)
5) Возрастание, убывание, экстремумы функции(через достаточные условия)
6) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика
7) Построить сам график со всеми асимптотами


Математика (475 баллов) | 39 просмотров
0

Уточнение от автора вопроса: Прошу прощения, в задании опечатка, там e в степени -x/3 

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Дано:
y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ;

Исследовать функцию и построить график.


Решение:

1) Функция определена при любых аргументах.

D(f) ≡ R ≡ ( -\infty ; +\infty ) ;



2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это:

y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} } ;

y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} } ≠ ± 1 при любых аргументах ;

y(-x)/y(x) ≠ ± 1 ;


Найдём первую производную функции y(x) :

y'(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )' = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )' = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } =

= \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{3} ( \frac{2}{x^\frac{1}{3} } - x^\frac{2}{3} ) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 x^{1/3} } ( 2 - x ) ;

y'(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) ;


При x = 0, производная y'(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля.

Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа

\lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 ;

\lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0 ;



3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет.


Если приравнять функцию к нолю, получим:

y(x) = 0 ;

\sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = 0 ;

Что возможно только при \sqrt[3]{x^2} = 0 , т.е. при x = 0 ;

Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику.




4. Найдем асимптоты y(x).

Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот.

Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± \infty :

\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =

= \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } } e^{ \frac{-x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } + \frac{-x}{3} } =

image \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty " alt=" = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} ( 1 + \frac{ 2 \ln{ (-x) } }{ -x } ) } > \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty " align="absmiddle" class="latex-formula"> ;


\lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty ;



\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =

= \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} } e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} - \frac{x}{3} } =

= \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} ( 1 - \frac{ 2 \ln{x} }{x} ) } < \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} } \leq 0 ;


Поскольку, \lim_{x \to +\infty} y(x) \geq 0 , то:

\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 ;

Значит, уходя на отрицательную бесконечность аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ;

Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0 .

Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу:

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+-%5Cinfty%7D+y%27%28x%29+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+-%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B+e%5

(8.4k баллов)
0

Прошу прощения, в задании опечатка, там e в степени -x/3