Доказать неравенство

Question 1

Доказать неравенство
$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

Question 2

а только для положительных?

Question 3

или для любых значений а,в,с?

Question 4

Для a,b,c>0

Question 5

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$
-----------
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b} +1 \geq \frac{3}{2}+3$
-----------
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+c} \geq \frac{9}{2}$
--------------------
$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
----------
$(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2})(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
-----------------
$((a+b)+(b+c)+(a+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9$ (*)
учитывая неравенство между средними арифметическим и средним геометрический для трех положительных чисел
$A+B+C \geq 3 \sqrt[3] {ABC}$
получим
что
$((a+b)+(a+c)+(b+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \\\\3\sqrt[3] {(a+b)(a+c)(b+c)}*3 \sqrt{\frac{1}{(a+b)(b+c)(a+c)}}=9$
т.е. справедливость неравенства (*) тождественного исходному.
Доказано

dtnth_zn · Answer 1 · 2018-04-13T00:48:04+0000

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$
-----------
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b} +1 \geq \frac{3}{2}+3$
-----------
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+c} \geq \frac{9}{2}$
--------------------
$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
----------
$(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2})(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
-----------------
$((a+b)+(b+c)+(a+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9$ (*)
учитывая неравенство между средними арифметическим и средним геометрический для трех положительных чисел
$A+B+C \geq 3 \sqrt[3] {ABC}$
получим
что
$((a+b)+(a+c)+(b+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \\\\3\sqrt[3] {(a+b)(a+c)(b+c)}*3 \sqrt{\frac{1}{(a+b)(b+c)(a+c)}}=9$
т.е. справедливость неравенства (*) тождественного исходному.
Доказано