Введем координаты, пусть радиус окружности равен R, тогда имеем следующие координаты для зарядов:
A(-R/2;R*sqrt(3)/2)
B(R/2;R*sqrt(3)/2)
C(0;-R)
Тогда имеем вектора:
AB(R,0)
BA(-R;0), |BA|=|AB|=R
AC(R/2;-R(1+sqrt(3)/2),
CA(-R/2;R(1+sqrt(3)/2), |CA|=|AC|=R*sqrt(1/4+1+3/4+2*sqrt(3))=R*sqrt(2+2*sqrt(3))
BC(-R/2;-R(1+sqrt(3)/2)
CB(R/2;R(1+sqrt(3)/2), |CB|=|BC|=R*sqrt(2+2*sqrt(3))
OA(-R/2;R*sqrt(3)/2)
OB(R/2;R*sqrt(3)/2)
OC(0;-R)
Так как задача симметрична относительно вертикальной оси, то заряд q1 - будет в равновесии и достаточно записаь условие равновесия одного из двух зарядов q2:
Условия равновесия заряженного шарика - вектор суммы сил дейсвующих на шарик - направлен по радиусу, то есть перпендикулярен к дуге (в этом случае шарик никуда не поедет)
Рассмотрим точку A:
Вектор силы в точке A:
F=CA/|CA| * k*q1*q2/|CA|^2 + BA/|BA| * k*q2*q2/|BA|^2 =CA*k*q1*q2/|CA| + +BA*k*q2*q2/|BA|=k*q1*q2/(R*sqrt(2+2*sqrt(3))) * (-R/2;R(1+sqrt(3)/2) + k*q2*q2/R * (-R;0) =
=(-R/2*k*q1*q2/(R*sqrt(2+2*sqrt(3)))-R*k*q2*q2/R;R(1+sqrt(3)/2)*k*q1*q2/(R*sqrt(2+2*sqrt(3))))=(-k*q1*q2/(2sqrt(2+2*sqrt(3)))-k*q2*q2; k*q1*q2*(1+sqrt(3))/(4+4*sqrt(3)))
Этот вектор должен быть колинеарен вектору OA(-R/2;R*sqrt(3)/2)
Это значит скалярное произведениее этих векторов равно 0:
-R/2 * (-k*q1*q2/(2sqrt(2+2*sqrt(3)))-k*q2*q2)+R*sqrt(3)/2*k*q1*q2*(1+sqrt(3))/(4+4*sqrt(3))=0
q2=0 одно из решений, далее можно сократить:
(q1/(2sqrt(2+2*sqrt(3)))-q2)+sqrt(3)*q1*(1+sqrt(3))/(2+2*sqrt(3))=0, откуда
q2=q1(1/(2sqrt(2+2*sqrt(3)))+sqrt(3)*(1+sqrt(3))/(2+2*sqrt(3)))=q1*((sqrt(3)*(1+sqrt(3))+2)/(4+4*sqrt(3))=q1*((3*sqrt(3)+3)/(4*sqrt(3)+4)=3/4 * q1
То есть q1/q2=4/3 или же q2=0
P.S. У меня такое ощущение, что это решается проще ^^