Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Сторона АВ точками M и N разделена ** 3 равные части,...

0 голосов
161 просмотров

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Сторона АВ точками M и N
разделена на 3 равные части, сторона CD разделена точками K и L также на
3 равные части. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника KLMN
равна 1/3 площади данного четырехугольника.


Геометрия (62 баллов) | 161 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Пусть продолжения прямых AB и CD за точки B и С пересекаются в О и пусть OB=x, OC=y, AM=MN=NB=s, DL=KL=KC=t. Тогда
S(ABCD)=S(OAD)-S(OBC)=1/2*((x+3s)*(y+3t)-xy)*sin(∠BOC)
S(KLMN)=S(OML)-S(ONK)=1/2*((x+2s)*(y+2t)-(x+s)(y+t))*sin(∠BOC)
Отсюда S(ABCD)/S(KLMN)=(3sy+3xt+9st)/(2sy+2xt+4st-sy-xt-st)=3.


image
(960 баллов)
0

Остается рассмотреть случай AB|| CD (этот случай еще легче _максимум трапеции с общей высотой)

0

да, про это я забыл. Но тут и правда просто.