Для четырехугольника ABCD справедливы равенства AB=BC=CD и AD=AC=BD. Найдите меньший угол...

Question

Для четырехугольника ABCD справедливы равенства AB=BC=CD и AD=AC=BD. Найдите меньший угол четырехугольника (в градусах).

Answer 1

Углы АВС и ВСD -  тупые, углы BAD и  CDA - острые. Нужно найти наименьший ОСТРЫЙ угол.

Δ DBC- равнобедренный (BC=DC) => ∠CBD=∠CDB=∠α
Δ ABC- равнобедренный (AB=BC) и он = Δ DBC (по 3 сторонам: AB=DC, АС=ВD, ВС- общая сторона) => ∠BAC=∠BCA=∠α.

Δ DBА- равнобедренный (DB=DA) => ∠BAD=∠DBA=∠β
Δ ADC- равнобедренный (AD=BD) и он = Δ DBA по 3 сторонам: AB=DC, АС=ВD, DA- общая сторона) => ∠DCA=∠CDA=∠β.

В четырехугольнике АВСD cумма углов  ∠β+(∠α+∠β)+(∠α+∠β)+∠β=360° или 2∠α+4∠β=360°, откуда ∠α=(360°-4∠β):2=180°-2∠β.

В Δ ABC cумма углов  ∠α+(∠β+∠α)+∠α=180° => 3∠α+∠β=180°.
Подставим ∠α=180°-2∠β и получим, что 3(180°-2∠β)+∠β=180°, откуда 5∠β=2*180°
∠β=360°:5=72°.

Comments

Ну, и сколько же градусов меньший угол? Все равно 72? Так решать МОЖНО по-разному... Можно было сказать, что  треугольники AВC и BCD равны, треугольники  ABD  и  АCD  равны... Каким путем не идти, придем к ТОМУ ЖЕ результату - 72 градуса. 

---

 Возьми циркуль и проверь ПОСТРОЕНИЕМ...Отложи  АД=14,5 см и из точек А и Д радиусом =14,5 см провели дуги. Затем радиусом 9 см проведи из точек А и Д дуги. Точки пересечения обозначь В и С. 

---

Измерь (есть небольшая погрешность)  ВС=9 см и угол ВАД=72 градуса. Размеры 14,5 и 9 - произвольные, но при 72 градусах  они "работают".  А у тебя КАК получилось 30 градусов при основании? Дай СВОИ размеры (при АВ=ВА=СД= ... см  будут размеры АС=АД=ВД=... см с углом при основании 30 градусов).