Найдите две последние цифры числа 1+9^78

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-13T05:12:18+0000

Далее, везде в преобразованиях $N_1, N_2, N_3, ... , N_i$ – какие-то числа, кратные ста, т.е. $800, 7100, 62400, ...$ и т.п.

Способ [[[ 1 ]]]

$9^{78} = (9^2)^{39} = 81^{39} = 81 \cdot 81^{38} = 81 \cdot (81^2)^{19} = 81 \cdot ((80+1)^2)^{19} =$

$= 81 \cdot (8^2 \cdot 100 + 2 \cdot 80 + 1)^{19} = 81 \cdot (N_1 + 61)^{19} = 81 \cdot (N_1 + 61) \cdot ((N_1 + 61)^2)^9 =$

$= (N_1 \cdot 81 + 81 \cdot 61) \cdot (N_1^2 + 2 \cdot N_1 \cdot 61 + 61^2)^9 =$

$= (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_3 + 60^2 + 2 \cdot 60 + 1)^9 = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_4 + 21)^9 =$

$= (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_4 + 21) \cdot ((N_4 + 21)^2)^4 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_4^2 + 2 \cdot N_4 \cdot 21 + 21^2)^4 =$

$= (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_6 + 41)^4 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot ((N_6 + 41)^2)^2 =$

$= (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_6^2 + 2 \cdot N_6 \cdot 41 + 41^2)^2 =$

$= (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_7 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1)^2 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_8 + 81)^2 =$

$= (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_8^2 + 2 \cdot N_8 \cdot 81 + 81^2) = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_9 + 80^2 + 2 \cdot 80 + 1) =$

$= (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_{10} + 61) = N_{11} + 81 \cdot 21 \cdot 61^2 = N_{11} + ( 80 + 1 ) ( 20 + 1 ) ( 60 + 1 )^2 =$

$= N_{11} + ( 80 \cdot 20 + 80 + 20 + 1 ) ( 60^2 + 2 \cdot 60 + 1 ) =$

$= N_{11} + ( N_{12} + 1 ) ( N_{13} + 21 ) = N_{11} + N_{14} + 21 = N_{15} + 21$ ;

$1 + 9^{78} = 1 + N_{15} + 21 = N_{15} + 22$ ;

О т в е т : две последние цифры $22 .$

Способ [[[2]]]

1-ое действие: $9^2 = 81$ ;

2-ое действие: $9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 + 1 = N_1 + 61$ ;

3-е действие: $9^8 = (9^4)^2 = ( N_1 + 61 )^2 = N_1^2 + 2 \cdot N_1 \cdot 61 + 61^2 =$

$= N_2^2 + 60^2 + 2 \cdot 60 + 1 = N_3 + 21$ ;

4-ое действие: $9^9 = 9^8 \cdot 9 = ( N_3 + 21 ) \cdot 9 = N_3 \cdot 9 + 189 = N_4 + 89$ ;

5-ое действие: $9^{18} = (9^9)^2 = ( N_4 + 89 )^2 = N_4^2 + 2 \cdot N_4 \cdot 89 + 89^2 =$

$= N_5 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_6 + 21$ ;

6-ое действие: $9^{19} = 9^{18} \cdot 9 = ( N_6 + 21 ) \cdot 9 = N_6 \cdot 9 + 189 = N_7 + 89$ ;

7-ое действие: $9^{38} = (9^{19})^2 = ( N_7 + 89 )^2 = N_7^2 + 2 \cdot N_7 \cdot 89 + 89^2 =$

$= N_8 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_9 + 21$ ;

8-ое действие: $9^{39} = 9^{38} \cdot 9 = ( N_9 + 21 ) \cdot 9 = N_9 \cdot 9 + 189 = N_{10} + 89$ ;

9-ое действие: $9^{78} = (9^{39})^2 = ( N_{10} + 89 )^2 = N_{10}^2 + 2 \cdot N_{10} \cdot 89 + 89^2 =$

$= N_{11} + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_{12} + 21$ ;

10-ое действие: $1 + 9^{78} = 1 + N_{12} + 21 = N_{12} + 22$ ;

О т в е т : две последние цифры $22 .$

Способ [[[ 3 ]]]

<img src="https://tex