Отдам 50 баллов за ПРАВИЛЬНОЕ решение

Этот предел с неопределенностью типа $\{1^\infty\}$ . Его можно вычислить, приведя ко второму замечательному пределу. Можно также использовать логарифмирование, правило Лопиталя и первый замечательный предел. Это и было сделано ниже.

$=e^\lim_{x\to 0} \frac{\ln\left(\frac{1+\sin x\cos \alpha x}{1+\sin x\cos \alpha x}\right)}{{\rm tg}^3x}}=$
$=e^{\lim_{x\to 0} \frac{(1+\sin x\cos \beta x)(\cos x\cos\alpha x- \alpha \sin x\sin \alpha x)-(1+\sin x\cos \alpha x)(\cos x\cos \beta x- \beta \sin x\sin \beta x)}{(1+\sin x\cos \alpha x)(1+\sin x\cos \beta x)\cdot3\frac{\sin^2 x}{\cos^4 x}}}=$
$=e^{\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)(1- \alpha ^2 x^2)-(1+x)(1- \beta ^2 x^2)}{3x^2(1+x)^2)}}=e^{\lim_{x\to 0}\frac{x^2(\beta ^2- \alpha ^2)}{3x^2(1+x))}}=e^{\frac{1}{3}(\beta ^2- \alpha ^2)}$