в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности...

Question

в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, радиус вписанной в него окружности равен 2, найдите площадь треугольника

Answer 1

рассматриваем касательные проведенные к окружности из вершин треугольника.

Гипотенуза  точкой касания делится на отрезки х и 10-х - это и отрезки катетов. Сами катеты х+2 и 10-х+2=12-х

используем теорему пифагора  (х+2)(х+2)+(12-х)(12-х)=10*10

х2+4х+4+144-24х+х2=100

2х2-20х=-48

х2-10х=-24

(х-5)2-25=-24

х-5=1

х=6  второй отрезок гипотенузы 10-6=4, а катеты 6+2=8 и 4+2=6

Площадь равна 1/2 *8*6=24

Answer 2

радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной. Пусть треугольник АВС, угол С=90градусов, О-центр вписанной окружности. Проведём радиусы ОК, ОМ, ОН, ОК=ОМ=ОН=2,  ОМ перпендикулярно ВС, ОН перпендикулярно АС, ОК перпендикулярно АВ. НС=СМ=2,  Пусть МВ=х, тогда КВ=х, АК=10-х, АН=10-х. По т. Пифагора

(2+х)^2+(2+10-x)^2=10^2

4+4x+x^2+144-24x+x^2-100=0

2x^2-20x+48=0

x^2-10x+24=0

x=6. x=4

АС=6, ВС=8

S(АВС)=1/2*АС*ВС=1/2*6*8=24