Помогите пожалуйста, срочно!!

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-04-13T06:10:45+0000

Открытый бак имеет форму цилиндра объемом 27пи м3. Какими должны быть радиус основания и высота чтобы на его изготовление ушло меньше материалов?

Решение –
Объем цилиндра равен
                       V = 27π
Площадь поверхности цилиндра равна
                      S = Sбок + 2Soсн =2πRH +2πR²
     Для минимального расхода материла на изготовление бака необходимо чтобы площадь бака была минимальной. Поэтому требуется , чтобы при заданном объеме V его полная поверхность была наименьшей.
        Но S является функцией двух переменных R и Н. Исключим одну из этих переменных с помощью условия
              V = πR²H,
в которому - величина V известная.
Получим
                       $H= \frac{V}{{\pi}R^2}$

        $S = 2{\pi}R*\frac{V}{{\pi}R^2} +2{\pi}R^2= \frac{2V}{R} +2{\pi}R^2$

   Теперь уже S - функция только одной независимой переменной R.
Находим производную S'(R):
         $S'= (\frac{2V}{R} +2{\pi}R^2)'=4{\pi}R- \frac{2V}{R^2}= \frac{4{\pi}R^3-2V}{R^2}$
     Находим критические точки
                         S’ =0                или $\frac{4{\pi}R^3-2V}{R^2} =0$
      $R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2{\pi}}}$
Находим S"(R) дня определения характера экстремума функции
   $S''=(4{\pi}R-\frac{2V}{R^2})'=4{\pi} +\frac{6V}{R^3}$

Очевидно, что S"(R) > 0 при любом R.
Это означает, что в точке $R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2{\pi}} }$ функция S имеет минимум, а вместе с тем и наименьшее значение.

Подставляем найденное R в выражение Н, получаем:
    $H= \frac{V}{{\pi}R^2} = \frac{V }{{\pi} \sqrt[3]{ \frac{V^2}{4{\pi}^2} } }= \sqrt[3]{ \frac{V^3*4{\pi}^2}{{\pi}^3V^2}}= \sqrt[3]{ \frac{V*8}{2{\pi}}}=2\sqrt[3]{ \frac{V}{2{\pi}}}=2R$

Таким образом, на изготовление цилиндра заданного объема будет употреблено наименьшее количество материала, если взять высоту цилиндра равной диаметру.
Подставим значение объема и найдем радиус и высоту
$R= \sqrt[3]{ \frac{27{\pi}}{2{\pi}} }= \frac{3}{ \sqrt[3]{2}}$ ≈2,381(м)
$H=2R=2*\frac{3}{ \sqrt[3]{2}}=3 \sqrt[3]{4}$ ≈4,762(м)