4.
a) √(x+2) = -x
ОДЗ: x+2≥0 -x≥0
x≥ -2 x≤0
x∈[-2; 0]
x+2=(-x)²
x+2=x²
-x²+x+2=0
x² -x-2=0
D=1+8=9
x₁= 1-3 = -1
2
x₂ = 1+3 = 2 - не подходит по ОДЗ
2
Ответ: -1
б) √(-3x²+2x+21)= -x+3
ОДЗ: -3x²+2x+21≥0 -x+3≥0
3x²-2x-21≤0 -x≥ -3
3x²-2x-21=0 x≤ 3
D=4+4*3*21=256
x₁= 2-16 = -14/6 = -7/3
6
x₂= 2+16 = 3
6
+ - +
--------- -7/3 ----------- 3 ------------
\\\\\\\\\\\\\\
x∈[-7/3; 3]
-3x²+2x+21=(3-x)²
-3x²+2x+21=9-6x+x²
-3x²-x²+2x+6x+21-9=0
-4x²+8x+12=0
x²-2x-3=0
D=4+12=16
x₁= 2-4 = -1
2
x₂= 2+4 =3
2
Ответ: -1; 3.
в) √(2x+5) + √(x+6) =3
ОДЗ: 2x+5≥0 x+6≥0
2x≥ -5 x≥ -6
x≥ -2.5
В итоге x≥ -2.5
(√(2x+5)+√(x+6))² = 3²
2x+5 +2√[(2x+5)(x+6)] +x+6 =9
3x+11+2√(2x²+5x+12x+30)=9
2√(2x²+17x+30)=9-11-3x
4(2x²+17x+30)=(-2-3x)²
8x²+68x+120=4+12x+9x²
8x²-9x²+68x-12x+120-4=0
-x²+56x+116=0
x²-56x-116=0
D=56² +4*116=3136 +464=3600
x₁ = 56-60 = -4/2 = -2
2
x₂ = 56+60 = 58
2
Проверка корней:
х= -2 √(2*(-2)+5) + √(-2+6) =3
√1 + √4 =3
3=3
х= -2 - корень уравнения.
х= 58 √(2*58+5) + √(58+6) =3
√121 + √64 = 3
11+8≠ 3
х=58 - не корень уравнения
Ответ: -2.
г) (x+1) √(x² -x-6)=6x+6
ОДЗ: x²-x-6≥0
x²-x-6=0
D=1+24=25
x₁= 1-5 = -2
2
x₂= 1+5 = 3
2
+ - +
-------- -2 ---------- 3 ------------
\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\
x∈(-∞; -2]U[3; +∞)
(x+1) √(x²-x-6)= 6(x+1)
(x+1) √(x²-x-6) - 6(x+1) =0
(x+1) (√(x²-x-6) - 6)=0
1) x+1=0
x= -1 - не подходит по ОДЗ
2) √(x²-x-6) -6 =0
√(x²-x-6) = 6
x²-x-6 =36
x²-x-6-36=0
x²-x-42=0
D=1+168=169
x₁ = 1-13 = -6
2
x₂ = 1+13=7
2
Проверка корней:
х= -6 (-6+1) √(36+6-6) = 6*(-6)+6
-5*6 = -36+6
-30=-30
x= -6 - корень уравнения.
х= 7 (7+1) √(49-7-6) = 6*7+6
8*6 =42+6
48=48
х=7 - корень уравнения.
Ответ: -6; 7.
3. √(6-x-x²) ≤ √(6-x-x²)
x+4 -2x+5
ОДЗ: 6-x-x²≥0
x²+x-6≤0
x²+x-6=0
D=1+24=25
x₁= -1-5 = -3
2
x₂ = -1+5 = 2
2
+ - +
-------- -3 -------- 2 ----------
\\\\\\\\\\\
x∈[-3; 2]
Так как числители одинаковы, то решение неравенства зависит от знаменателей.
x+4 ≥ -2x+5
x+2x ≥ 5-4
3x ≥ 1
x≥ 1/3
x∈[1/3; 2]
Ответ: [1/3; 2]