Знайти інтеграли, будь-ласка хто може, буду дуже вдячний

0 голосов
27 просмотров

Знайти інтеграли, будь-ласка хто може, буду дуже вдячний


image

Алгебра (15 баллов) | 27 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

1)\; \; \int \frac{arctg^2x}{1+x^2} dx=[\, t=arctgx,dx=\frac{dx}{1+x^2}\, ]=\\\\=\int t^2\, dt= \frac{t^3}{3} +C=\frac{1}{3}\cdot arctg^3x+C;\\\\2)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}} =[\, 1-2x-x^2=-((x+1)^2-2)=2-(x+1)^2\, ]=\\\\=\int \frac{dx}{\sqrt{2-(x+1)^2}} =arcsin \frac{x+1}{\sqrt2} +C

3)\; \; \int \frac{cos^3x}{sin^4x} dx=\int \frac{cos^2x\cdot cosx\, dx}{sin^4x} =\\\\=[\, t=sinx,\; dt=cosx\, dx,\; cos^2x=1-sin^2x\, ]=\\\\=\int \frac{(1-t^2)dt}{t^4}= \int (t^{-4}-t^{-2})dt= \frac{t^{-3}}{-3} - \frac{t^{-1}}{-1} +C=\\\\= -\frac{1}{3sin^3x} + \frac{1}{sinx} +C
(829k баллов)