Нельзя.
Сопоставим монете, лежащей орлом вверх, число +1, а монете, лежащей решкой вверх, число -1. Тогда переворачивание монеты равносильно умножению на (-1) числа, сопоставленного этой монете.
Рассмотрим произведение чисел, сопоставленных монетам. В исходном состоянии оно равно (-1)^45 * (+1)^45 = -1, в конечном должно быть (+1)^90 = 1. Но переворачивание четырёх монет приводит к умножению произведения на (-1)^4 = 1, то есть при данной операции произведение измениться не может, и любое количество переворачиваний не могут сделать из минус единицы единицу. Поэтому путём переворачивания четырёх монет добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх, нельзя.