Найдём пределы интегрирования:
х³ = √х
Здесь 2 решения: х = 0 и х = 1.
График второго уравнения проходит выше первого до пересечения, поэтому надо при интегрировании из второго вычесть первое уравнение:
\int \left(\sqrt{x}-x^3\right)dx
\:\mathrm{Применить\:правило\:суммы}:\quad \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx
\int \sqrt{x}dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}
\int \:x^3dx=\frac{x^4}{4}
Итоговый интеграл равен \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^4}{4}.
Подставив пределы, получим 