ПОМОГИТЕ ЛОГАРИФМЫ!!

Question

Дан 1 ответ

m11m_zn · Answer 1 · 2018-04-13T07:43:51+0000

12.
$log_{ \frac{1}{3} } \frac{2+x}{10}=log_{ \frac{1}{3} } \frac{2}{x+1} \\$

ОДЗ:
$1) \frac{2+x}{10}\ \textgreater \ 0 \\ 2+x\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ -2 \\ \\ 2) \frac{2}{x+1}\ \textgreater \ 0 \\ x+1\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ -1$
В итоге:
x∈(-1; +∞)

$\frac{2+x}{10}= \frac{2}{x+1} \\ \\ (2+x)(x+1)=2*10 \\ 2x+x^2+2+x-20=0 \\ x^2+3x-18=0 \\ D=9+72=81 \\ x_{1}= \frac{-3-9}{2}= -6 \\ \\ x_{2}= \frac{-3+9}{2}=3$

x= -6 - не подходит по ОДЗ.

Ответ: 3.

14.
$log_{2}(9-2^x)=3-x$

ОДЗ:
$9-2^x\ \textgreater \ 0 \\ -2^x\ \textgreater \ -9 \\ 2^x\ \textless \ 9$

$9-2^x=2^{3-x} \\ 9-2^x= \frac{2^3}{2^x} \\ \\ 9-2^x- \frac{8}{2^x}=0 \\ \\ y=2^x \\ \\ y \neq 0 \\ \\ 9-y- \frac{8}{y}=0 \\ \\ 9y-y^2-8=0 \\ y^2-9y+8=0 \\ D=81-32=49 \\ y_{1} \frac{9-7}{2}=1 \\ \\ y_{2}= \frac{9+7}{2}=8$

При у=1
$2^x=1 \\ x=0$

При у=8
$2^x=8 \\ 2^x=2^3 \\ x=3$

Ответ: 0; 3.

15.
$log_{3}(x-2)+log_{3}x=log_{3}8$

ОДЗ:
x-2>0
x>2

x>0
В итоге x∈(2; +∞)

$log_{3}(x(x-2))=log_{3}8 \\ x(x-2)=8 \\ x^2-2x-8=0 \\ D=4+32=36 \\ x_{1}= \frac{2-6}{2}=-2 \\ \\ x_{2}= \frac{2+6}{2}=4$

x= -2 - не подходит по ОДЗ.
Ответ: 4.

16.
$lg(x-9)+2lg \sqrt{2x-1}=2$

ОДЗ:
x-9>0
x>9

2x-1>0
2x>1
x>0.5

В итоге ОДЗ: x∈(9; +∞)

$lg(x-9)+lg( \sqrt{2x-1} )^2=lg10^2 \\ lg((x-9)(2x-1))=lg100 \\ (x-9)(2x-1)=100 \\ 2x^2-18x-x+9-100=0 \\ 2x^2-19x-91=0 \\ D=361+728=1089=33^2 \\ x_{1} =\frac{19-33}{4}=- \frac{14}{4}=-3.5 \\ \\ x_{2}= \frac{19+33}{4}=13$

x= -3.5 - не подходит по ОДЗ.

Ответ: 13.

17.
$log_{x-1}9=2$

ОДЗ:
x-1>0
x>1

x-1≠1
x≠2

В итоге ОДЗ: х∈(1;2)U(2;+∞)

(x-1)²=9
(x-1)² - 3²=0
(x-1-3)(x-1+3)=0
(x-4)(x+2)=0
x₁=4
x₂= -2 - не подходит по ОДЗ.

Ответ: 4.

18.
$log_{4}log_{2}log_{ \sqrt{5} }(x)= \frac{1}{2}$

ОДЗ:
x>0

$log_{2}log_{ \sqrt{5} }(x)=4^{ \frac{1}{2} } \\ log_{2}log_{ \sqrt{5} }(x)=2 \\ log_{ \sqrt{5} }(x)=2^2 \\ log_{ \sqrt{5} }=4 \\ x=( \sqrt{5} )^4 \\ x=25$

Ответ: 25.

19.
$log^2_{2}x+3=2log_{2}x^2 \\$

ОДЗ: x>0

$log^2_{2}x+3-2*2log_{2}x=0 \\ log^2_{2}x-4log_{2}x+3=0 \\ \\ y=log_{2}x \\ \\ y^2-4y+3=0 \\ D=16-12=4 \\ y_{1}= \frac{4-2}{2}=1 \\ \\ y_{2}= \frac{4+2}{2}=3$

При у=1
$log_{2}x=1 \\ x=2$

При у=3
$log_{2}x=3 \\ x=2^3 \\ x=8$

Ответ: 2; 8.