Число при делении на 5 дает в остатке 3 только если оно заканчивается на 3 или на 8. Докажем что ни одно целое число в квадрате не заканчивается ни на 3, ни на 8.
если число закачивается на 0, то в квадрате оно заканчивается на 0
если число закачивается на 1, то в квадрате оно заканчивается на 1
если число закачивается на 2, то в квадрате оно заканчивается на 4
если число закачивается на 3, то в квадрате оно заканчивается на 9
если число закачивается на 4, то в квадрате оно заканчивается на 6
если число закачивается на 5, то в квадрате оно заканчивается на 5
если число закачивается на 6, то в квадрате оно заканчивается на 6
если число закачивается на 7, то в квадрате оно заканчивается на 9
если число закачивается на 8, то в квадрате оно заканчивается на 4
если число закачивается на 9, то в квадрате оно заканчивается на 1
все, вариантов не осталось. Доказано.