По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» Участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта...

Question

124 просмотров

По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» Участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность: а) того, что будут угаданы 4 цифры; б) того, что будет получен денежный приз.

Математика Amber22_zn (12 баллов) 13 Апр, 18 | 124 просмотров

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-13T08:37:55+0000

После розыгрыша лотереи окажется $6$ выигрышных номеров. Кроме них так же будут $39$ невыигрышных.

[N] Участник лотереи выбирает 6 номеров. Всего он может выбрать первый номер 45-тью способами, второй – 44-мя способами, третий 43-мя способами, четвёртый – 42-мя способами, пятый – 41-им способом и выбрать шестой – 40 способов. Причём существует некоторое число повторов, когда одну и ту же комбинацию выбрали в различном порядке. 6 номеров можно переставить 6! способами. Значит, общее число способов выбрать 6 номеров из 45 составит:

$N = \frac{ 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20$ ;

[4] Попасть в один из выигрышных номеров можно 6-тю способами, попасть во второй выигрышный номер можно оставшимися 5-тю способами, попасть в третий выигрышный номер можно оставшимися 4-мя способами и попасть в четвёртый выигрышный номер можно оставшимися 3-мя способами. Причём существует некоторое число повторов, когда одну и ту же комбинацию 4 выигрышных выбрали в различном порядке. 4 номера можно переставить 4! способами. Значит, общее число способов выбрать 4 выигрышных номера из шести составит:

$N_4 = \frac{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 }{ 4 \cdot 3 \cdot 2 } = 5 \cdot 3$ ;

**[2]** Попасть в один из невыигрышных номеров можно 39-тью способами и попасть во второй невыигрышный номер можно оставшимися 38-мью способами. Причём существуют повторы, когда одну и ту же комбинацию 2 невыигрышных номеров выбрали в различном порядке. 2 номера можно переставить двумя способами. Значит, общее число способов выбрать 2 невыигрышных номера из 39-ти составит:

$N_2 = \frac{ 39 \cdot 38 }{ 2 } = 39 \cdot 19$ ;

[4 из 6] Вероятность угадать РОВНО четыре номера в розыгрыше составит:

$P_4 = \frac{ N_4 \cdot N_2 }{ N } = \frac{ 5 \cdot 3 \cdot 39 \cdot 19 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 39 \cdot 19 }{ 11 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 4 } = \frac{ 741 }{ 2 \cdot 271502 } \approx 0.001364 = 0.1364 \%$ ;

[5 из 6] Попасть в пять выигрышных номеров можно 6-тю способами, в самом деле, это просто значит отбросить какой-то один из 6-ти выигрышных номеров. Значит, общее число способов выбрать 5 выигрышных номеров из шести составит: $N_5 = 6$ . Попасть в один из невыигрышных номеров можно 39-тью способами. Вероятность угадать РОВНО пять номеров в розыгрыше составит:

$P_5 = \frac{ N_5 \cdot N_1 }{ N } = \frac{ 6 \cdot 39 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 39 }{ 11 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 10 } =$

$= \frac{ 39 }{ 5 \cdot 271502 } \approx 0.00002873 = 0.002873 \%$ ;

[6 из 6] Попасть в шесть выигрышных номеров можно лишь одним способом. Значит, общее число угадать 6 номеров составит: $P_6 = \frac{ 1 }{ N } = \frac{ 1 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 1 }{ 30 \cdot 271502 } = \approx 0.0000001228 = 0.00001228 \%$ ;

Допустим, что вопрос (а) подразумевает не строго 4 выигрышных номера, а 4 и более. В самом деле, там ведь не написано – СТРОГО четыре. Т.е. можно проинтерпретировать это задание, как выбор 4 из 6, а так же и 5 из 6, а так же и 6 из 6. Хорошо, сама такая интерпретация вопроса не является ошибкой. Если интерпретировать вопрос пункта (а) таким образом, то тогда мы просто найдём полную вероятность $P_{IV} = P_4 + P_5 + P_6$ того, что участник угадает любое количество номеров, больше или равно четырём, т.е. гарантированно угадает 4 каких-то номера.

В такой интерпретации:

$P_{IV} = P_4 + P_5 + P_6 = \frac{ 741 }{ 2 \cdot 271502 } + \frac{ 39 }{ 5 \cdot 271502 } + \frac{ 1 }{ 30 \cdot 271502 } = \frac{ 741 \cdot 15 + 39 \cdot 6 + 1 }{ 30 \cdot 271502 } = \frac{ 11350 }{ 30 \cdot 271502 } =$

$= \frac{ 1135 }{ 3 \cdot 271502 } \approx 0.001393 = 0.1393 \%$ .

!!!! Некоторые очень неопытные учащиеся делают катастрофическую ошибку, о которой стоит сказать отдельно !!!!

ОШИБКОЙ БЫЛО БЫ СЧИТАТЬ, ЧТО ПРИ РАСЧЁТЕ ПУНКТА **[2]** можно взять произвольно ещё два номера из общего пула, т.е. считать, что $N'_2 = \frac{ 41 \cdot 40 }{ 2 } = 41 \cdot 20$ и, как бы, учесть при этом любой исход, как для 4, так и для 5-ти, так и для 6 выигрышных номеров.

В этом случае, получится неправильное значение для $P'_{IV} = \frac{ N_4 \cdot N'_2 }{ N } = \frac{ 5 \cdot 3 \cdot 41 \cdot 20 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 5 }{ 11 \cdot 43 \cdot 7 } = \frac{ 5 }{ 3311 } \approx 0.001510 = 0.1510 \%$ .

Как видим, оно завышено, поскольку варианты выборок более чем 4 номеров посчитаны несколько раз, когда они брались из общего пула.

!!!! ОКОНЧАНИЕ РАЗБОРА НЕВЕРНОГО ПОДХОДА !!!!

О т в е т . в . п р и к р е п л ё н н о м . и з о б р а ж е н и и >>>