Заранее большое спасибо

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-13T09:32:02+0000

Сначала найдём промежутки возрастания и убывания функции.

Для этого нам потребуется найти производную заданной функции:

$f'_x (x) = ( \frac{x^2}{x} + \frac{4}{x} )'_x = ( x )'_x + 4 ( x^{-1} )'_x = 1 - \frac{4}{x^2}$ ;

Экстремумы функции найдём через анализ нолей и критических точек производной:

$f'_x (x) = 0$ ;

$\frac{x^2-4}{x^2} = \frac{ ( x - 2 ) ( x + 2 ) }{x^2} = 0$ ;

В критической точке $x = 0 ,$ производная становится бесконечной, а сама функция имеет разрыв, но производная не меняет знак, поскольку аргумент $x$ встречается в знаменателе в чётной второй степени.

С учётом критической точки, можно сказать, что:

На $x < -2$ производная 0 , " alt=" f'_x (x) > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> а функция $f (x)$ – растёт ;

на $x \in ( -2 ; 0 )$ производная $f'_x (x) < 0 ,$ а функция $f (x)$ – убывает асимптотически к $-\infty$ вдоль асимптоты $x = 0$ ;

на $x \in ( 0 ; 2 )$ производная $f'_x (x) < 0 ,$ а функция $f (x)$ – убывает асимптотически из $+\infty$ вдоль асимптоты $x = 0$ ;

на 2 " alt=" x > 2 " align="absmiddle" class="latex-formula"> производная 0 , " alt=" f'_x (x) > 0 , " align="absmiddle" class="latex-formula"> а функция $f (x)$ – растёт.

С учётом заданного интервала, можно уточнить, что:

На $x \in [ -4 ; -2 ]$ функция $f (x)$ – растёт от $f(-4) = - 5$ до $f(-2) = - 4$ ;

на $x \in [ -2 ; -1 ]$ функция $f (x)$ – убывает от $f(-2) = - 4$ до $f(-1) = - 5$ ;

Таким образом, можно резюмировать, что значения функции $f(x)$ на отрезке $x \in [ -4 ; -1 ]$ заключены в рамки $f(x) \in [ -5 ; -4 ] ,$ т.е., на заданном отрезке $min(f(x)) = -5 ,$ а $max(f(x)) = -4 .$

О т в е т :
$min(f(x)) = -5 ,$
$max(f(x)) = -4 .$