Если считать по определению определителя как суммы, то в каждое слагаемое будет входить ровно 1 элемент с каждого столбца и ровно 1 элемент с каждой строки. Поэтому если бы мы просто умножили каждый элемент на номер столбца, то каждое слагаемое увеличилось бы на n!. Если мы еще делим каждый элемент на номер строки, то каждое слагаемое мы уменьшаем в n! раз, то есть не меняем его.