Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x. y=2x-3.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Строим график:

y=2x-3 - прямая, находим две точки:
x=0⇒y=2*0-3=-3
x=1⇒y=2-3=-1
Рисуем прямую проходящую через эти точки.

y=x²-2x - парабола, находим вершину параболы и несколько точек и т.к. коэффициент при x² положительный, то ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: x=-b/(2a)= -(-2/(2*1))=1
y=1*1-2*1=-1
Ещё пару точек: x=2⇒y=0
x=3⇒y=3
Рисуем графики.(график во вложении)

Площадь фигуры вычисляется по формуле:
$S=\int\limits_a^b(f(x)-g(x))dx$
Где а и b - границы икса, в которых фигура изменяется(x∈[a;b])
f(x) и g(x) - графики которыми ограничена фигура, причём график f(x) - график расположенный выше чем g(x).

Из рисунка видно откуда изменятся x: x∈[1;3]. Если из графика не будет видно, то стоит найти точки пересечения графиков, для этого нужно будет их приравнять(y=y⇒x²-2x=2x-3).
Так же из рисунка видно, что график прямой расположен выше графика параболы. Теперь нам всё известно, осталось вычислить интеграл:
$S=\int\limits_1^3(2x-3-(x^2-2x))dx=\int\limits_1^3(4x-3-x^2)dx=\\=(\frac{4x^{2}}{2}-3x-\frac{x^3}{3})|^3_1=(2x^2-3x-\frac{x^3}{3})|^3_1=\\=2*3^2-3*3-\frac{3^3}{3}-(2*1^2-3*1-\frac{1^3}{3})=\\=18-9-9-2+3+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

Alabaster_zn (2.4k баллов) 13 Апр, 18