Деепричастие обозначает добавочное действие предмета. В данных предложениях производитель действия, обозначенного глаголом-сказуемым, и производитель действия, обозначенного деепричастием, не совпадают. Это и есть стилистическая ошибка.. Исправляем ошибки:
1. Подумав с полчаса, я составил план действий.
2. Получив такое письмо, я испытал легкость и веселье.
3.Расплачиваясь в кассе, я выронил из рук кошелек.
4.Отпершись от всех предъявленных фактов, подозреваемый стоял на своем (деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает причину другого действия)
5.Приняв лекарство, больной почувствовал облегчение