Окружность радиуса 1 вписана в равнобокую трапецию. Найдите площадь этой трапеции, если...

Question

Окружность радиуса 1 вписана в равнобокую трапецию. Найдите площадь этой трапеции, если одно из ее оснований равно 1.

Answer 1

Решение:
Sтрап.=(a+b)*h/2
 где а  и b -нижнее и верхнее основание трапеции
h -  высота трапеции
У равнобокой трапеции в которую вписана окружность высота является диаметром окружности, следовательно:
h=2*R=2*1=2
Кроме того высота равнобокой трапеции в которую вписана окружность равна средне-геометрическому её оснований, или:
h=√(a*b)
a=1
h=2
Отсюда:
2=√(1*b)
2=√b  возведём левую и правую части в квадрат:
2²=(√b)²
4=b
Подставим известные данные в формулу площади трапеции:
S=(1+4)*2/2=5

Ответ: S=5

Answer 2

Пусть Х - большая сторона. а- боковая сторона. Высота равна двум радиусам вписанной окружности , т.е. равна 2.
Для описанной трапеции верно: (Х+1)=2а  (сумма боковых сторон равна сумме оснований)
Кроме того, можно заметить ((Х-1)^2)/4+4=а*а  ( теорема Пифагора для боковой стороны , высоты и проекции боковой стороны на большее основание)
Поэтому
(X-1)^2+16=(X+1)^2
Легко понять, что Х=4. (Разность квадратов 4*х=16)
Площадь трапеции 2*(Х+1)/2=5  (полусумма оснований на высоту)
Ответ: 5