7.1 Вася и Толя обменялись значками. До обмена у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи. По-
сле того, как Вася обменял 24% своих значков на 20% значков Толи, у Васи стало на один зна-
чок меньше, чем у Толи. Сколько значков было у мальчиков до обмена?
Ответ. У Толи было 45 значков, у Васи – 50 значков. Решение. Пусть до обмена у Толи было x значков, тогда
у Васи было (x + 5) значков. После обмена у Толи стало 25
6 5
5 x x
x , а у Васи 25 5
6 5 5 x
x x .
Решая уравнение
1, 25 5
6 5 5
25
6 5
5 x
x x x
x
x
находим x = 45.
7.2. Существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа 13x 4y и 10x 3y целые?
Ответ. Не существуют. Решение. Пусть 13x + 4y = m, 10x + 3y = n, где m и n – целые. Решим эту систему
уравнений, домножив первое уравнение на 3, а второе – на 4. Вычитая уравнения, получим x = – 3m +4n, т.е. x
– целое число.
7.3. Найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд иду-
щих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел?
Ответ: а) да; б) да. Решение. Можно привести искомую серию из 11 составных чисел: 200, 201, …,
210. Объясним сначала, как найти подобную серию из 9 составных чисел. Есть 4 простых числа
меньше 10: это 2, 3, 5, 7. Их произведение равно 210. Поэтому при любом целом k каждая из
двух серий 210k 2,210k 3,...,210k 10 и 10 210k 2, 210k 3,...,210k состоит из 9 составных
чисел. Это отвечает на вопрос пункта а) при k = 1 или 2. Если заметить, что 20911, то получим
ответ на вопрос б).
7.4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Оказалось, что пе-
риметр AMC равен периметру CNA, а периметр ANB равен периметру CMB. Докажите,
что ABC равнобедренный.
Решение. Будем обозначать периметр буквой P. Из условия задачи имеем P(AMC) + P(CMB) = P(CNA)
+ P(ANB). Отсюда P(ABC) + 2 CM = P(ABC) + 2 AN. Значит CM = AN. Из этого соотношения,
учитывая равенство периметров треугольников AMC и CAN, получим, что AM = NC. Поэтому тре-
угольники AMC и CAN равны по трем сторонам. Тогда A = C, значит, ABC равнобедренный.