Решите пожалуйста задачи. 1). В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена...

Question

Решите пожалуйста задачи.

1).

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса BD.

Докажите что точка М, взятая на этой биссектрисе, равноудалена от вершин А и С.

2)

В рпвнобедренной трапеции диагональ перпендикулярно боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. В каком отношении диагонали трапеции делятся точкой их пересечения?

Answer 1

 

1)
Так как треугольник равнобедренный, биссектриса в нем "3 в одном флаконе": биссектриса, высота и медиана. Медиана делит сторону, к которой проведена, на две равные части.
Следовательно, АD=DC.
2)
Пусть это трапеция АВСD.  Нужно найти ВО:ОD

Так как АВ=СD, то
∠ АВD=∠ АСD

Сравним треугольник АВD и АВО

В них, как в любом треугольнике, сумма углов 180º.

В треугольнике АВD
сумма углов равна
180º=90º + ∠А+∠А:2 ( так как ∠А=∠D)

В треугольнике АВО
180º=90º+∠А:2+ ∠АОВ
Следовательно, ∠АОВ = ∠А
∠А+∠А:2=180º-90º=90º
1,5 ∠А=90º
0,5∠А=30º
∠ВАО=30º  По свойству катета, противолежащего углу 30º

ВО=АО:2
АО=ОD
ВО:ОD=1:2

 

---