За первый день турист прошел половину всего маршрута,а за второй 2/3 его оставшейся...

Половина маршрута - это 1/2.
Весь маршрут - это 1.

$1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\$ - всего маршрута оставалось пройти после первого дня.

$\frac{1}{2} * \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \\$ - всего маршрута было пройдено за второй день.

$\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}= \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \\$ - всего маршрута было пройдено за первые два дня.

$1- \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \\$ - маршрута осталось пройти за третий день.

Ответ: 1/6.